微积分 简单记录

一、极限与连续

1. 重要极限

• $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$
• $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
• $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

2. 等价无穷小

（$x \to 0$ 时）

• $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
• $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2}$
• $a^x - 1 \sim x \ln a$，$e^x - 1 \sim x$
• $\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}$，$\ln(1 + x) \sim x$
• $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

（$x \to 1$ 时）

• $x^a - 1 \sim a(x - 1)$

3. 高阶无穷小差

• $\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$
• $\arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3$
• $\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}$
• $x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3$
• $x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$

顺序：

$$\tan x > \arcsin x > x > \sin x > \arctan x$$

二、微分中值定理

1. 介值定理

若 $f(x) \in C[a, b]$ 且 $f(a) \neq f(b)$，则对任意介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的数 $c$，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) = c$。

2. Rolle 定理

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。

3. Lagrange 中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。

4. 积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a)$。

5. Taylor 中值定理

若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有直到 $n+1$ 阶导数，$x_0 \neq x \in (a, b)$，则存在 $\xi$ 在 $x_0$ 和 $x$ 之间，使得

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$$

三、泰勒公式与麦克劳林展开

1. 泰勒多项式

$$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$$

（Peano 余项为 $o((x - x_0)^n)$）

2. 常见函数的麦克劳林展开（$x_0 = 0$，令 $\xi = \theta x, 0 < \theta < 1$）

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \frac{\sin(\theta x + (2n+1)\frac{\pi}{2})}{(2n+1)!}x^{2n+1}$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \frac{\cos(\theta x + (2n+2)\frac{\pi}{2})}{(2n+2)!}x^{2n+2}$
• $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + (-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1 + \theta x)^{n+1}}$
• $(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n + \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n)}{(n+1)!}(1 + \theta x)^{\alpha - n - 1}x^{n+1}$
• $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})$

四、导数与微分

1. 反三角函数导数

• $f(x) = \arcsin x$，$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• $f(x) = \arccos x$，$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• $f(x) = \arctan x$，$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$
• $f(x) = \text{arccot } x$，$f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2}$

2. 正割、余割函数导数

• $f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x}$，$f'(x) = \sec x \tan x = \frac{\tan x}{\cos x}$
• $f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x}$，$f'(x) = -\csc x \cot x = -\frac{\cot x}{\sin x}$

3. 双曲函数及其导数

• $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，$\sinh' x = \cosh x$
• $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$，$\cosh' x = \sinh x$
• $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$，$\tanh' x = \frac{1}{\cosh^2 x}$

五、函数的凹凸性与拐点

1. 凹凸性判定

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，则

• $f''(x) > 0$ 时，$f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数；
• $f''(x) < 0$ 时，$f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数。

2. 拐点定义与判定

• 拐点是凹凸性改变的点 $(x_0, f(x_0))$，满足 $f''(x_0) = 0$ 或 $f''(x_0)$ 不存在，且左右两侧 $f''(x)$ 符号不同。
• 高阶导数判别法：若 $f(x)$ 在 $x = a$ 某邻域内 $n$ 阶可导，且 $f''(a) = \cdots = f^{(n-1)}(a) = 0$，$f^{(n)}(a) \neq 0$，则
  • $n$ 为奇数时，$(a, f(a))$ 是拐点；
  • $n$ 为偶数时，非拐点。

六、积分

（一）不定积分与定积分基本概念

1. Newton - Leibniz 公式：$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\big|_a^b$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。

2. 变上限积分：$\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$，$x \in [a, b]$（受上限限定积分）。
   性质：

   • 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续；
   • 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $\Phi'(x) = f(x)$（可能除去一个点）。

（二）积分计算方法

1. 第一类换元法（凑微分法）：$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx = \int f(u)du$，其中 $u = \varphi(x)$。

2. 第二类换元法：$\int f(x)dx = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$，其中 $x = \varphi(t)$，需满足 $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$，且 $a \leq \varphi(t) \leq b$。

3. 分部积分法：$\int u dv = uv - \int v du$。

4. Wallis 公式：$n \in \mathbb{N}^+$，$n \geq 2$，

   $$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} & (n \text{为偶数}) \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} & (n \text{为奇数}) \end{cases}$$

（三）反常积分

1. 无穷限反常积分：
   • $\int_a^{+\infty} f(x)dx = \displaystyle\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)dx$，极限存在时收敛，否则发散；
   • $\int_{-\infty}^b f(x)dx = \displaystyle\lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx$，同理判断收敛性。

（四）积分的应用

1. 面积：

   • 参数方程：由 $\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}$，面积 $S = 4ab \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt = \pi ab$；
   • 极坐标：$S = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$。

2. 体积（旋转体）：

   • 绕 $x$ 轴：$V = \int_a^b \pi f^2(x)dx$（注：原笔记可能指柱壳法，这里修正为标准圆盘法，若原笔记为柱壳法是 $\int 2\pi x f(x)dx$）；
   • 绕 $y$ 轴：$V = \int_c^d \pi g^2(y)dy$（其中 $x = g(y)$）。

3. 弧长：

   • 直角坐标系：$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{1 + f'^2(x)}dx$；
   • 参数方程：$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)}dt$；
   • 极坐标：$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)}d\theta$。

七、微分方程

（一）高阶线性微分方程

1. 齐次方程通解：对于 $a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0$，特征方程为 $a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 = 0$。

   • 单实根 $\lambda_i$：对应解 $C_i e^{\lambda_i x}$；
   • 重实根 $\lambda = k$（重数 $m$）：对应解 $(C_1 + C_2 x + \cdots + C_m x^{m-1})e^{kx}$；
   • 复根 $\alpha \pm \beta i$：对应解 $e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$。

2. 非齐次方程特解：设 $f(x)$ 的形式，通过待定系数法求特解 $y_p$。

   • 多项式 $P_m(x)$：$y_p = x^s Q_m(x)$（$s$ 为最小非负整数，使 $y_p$ 不是齐次解）；
   • 指数函数 $e^{\alpha x}$：$y_p = x^s C e^{\alpha x}$；
   • 三角函数组合 $e^{\alpha x}(P_m(x)\cos \beta x + Q_l(x)\sin \beta x)$：$y_p = x^s e^{\alpha x}(R_n(x)\cos \beta x + S_n(x)\sin \beta x)$（$n = \max(m, l)$）。

   通解为 $y = y_h + y_p$（$y_h$ 为齐次通解）。

（二）一阶微分方程

1. 可分离变量方程：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$，分离后 $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$。

2. 一阶线性方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，通解为 $y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right)$。

3. 伯努利方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$（$n \neq 0, 1$），令 $z = y^{1-n}$，转化为线性方程。

4. 其他类型：如 $y^{(n)} = f(x)$（逐次积分）、隐式方程等。

（三）欧拉方程（Euler-Cauchy 方程）

欧拉方程是形如以下形式的变系数线性微分方程：

$$x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 x y' + a_0 y = 0$$

其中 $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ 为常数。

求解方法：令 $x = e^t$（或 $t = \ln x$），记 $D = \frac{d}{dt}$，则有

• $x y' = Dy$
• $x^2 y'' = D(D-1)y$
• $x^3 y''' = D(D-1)(D-2)y$
• …

八、渐近线

1. 水平渐近线：若 $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = A$，则 $y = A$ 为水平渐近线。

2. 斜渐近线：若 $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - ax - b \right) = 0$，则 $y = ax + b$ 为斜渐近线（其中 $a = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - ax \right)$）。

九、弧长微分与曲率

1. 弧长微分：$ds = \sqrt{1 + y'^2}dx = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)}dt = \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)}d\theta$。

2. 曲率：$K = \left| \frac{d\alpha}{ds} \right| = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。

3. 曲率半径：$\rho = \frac{1}{K}$。