微积分2 简单记录（1）

级数

数列 $\{u_n\}$ 部分和数列定义为 $S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$。

$\lim_{n \to \infty} S_n$ 存在 $\iff$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。

常见重要级数

• 等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a q^n \ (a \neq 0)$
  • $|q| < 1$ 时，级数收敛；
  • $|q| \ge 1$ 时，级数发散。
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散。
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 收敛。

级数的基本性质与括号规则

• 加括号分组：
  • 原级数收敛 $\implies$ 加括号后的级数收敛（且和不变）。
  • 加括号后的级数发散 $\implies$ 原级数发散。
• 奇偶项收敛判定：若部分和的偶数项子序列 $\lim_{n \to \infty} S_{2n}$ 存在，且 $\lim_{n \to \infty} u_{2n+1} = 0$，则原级数收敛。

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正项级数 ($u_n \ge 0$)

对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$，常用的敛散性判别法如下：

积分判别法

设函数 $f(x) \ge 0$，且在 $[1, +\infty)$ 上单调递减，且 $f(n) = u_n$。
则无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) dx$ 敛散性相同。

比较判别法的极限形式

设有两个正项级数 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$，且 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l$。

• 当 $0 < l < +\infty$ 时，两者敛散性相同。
• 当 $l = 0$ 时，若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛。
• 当 $l = +\infty$ 时，若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散。

比值判别法 (D’Alembert 判别法)

计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$：

$$\begin{cases} \rho < 1 & \text{级数收敛} \\ \rho > 1 \text{ 或 } \rho = +\infty & \text{级数发散} \\ \rho = 1 & \text{判别法失效} \end{cases}$$

根值判别法 (Cauchy 判别法)

计算极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$：
敛散性判定标准与比值判别法完全相同。

P-级数 (常用作比较判别法的基准)

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的敛散性：

$$\begin{cases} p > 1 & \text{级数收敛} \\ p \le 1 & \text{级数发散} \end{cases}$$

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交错级数与任意项级数

交错级数 (Leibniz 判别法)

对于交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ (其中 $u_n > 0$)，若满足：

1. 单调递减：$u_{n+1} \le u_n$
2. 极限为零：$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

则该交错级数收敛。
其和 $S$ 满足 $0 \le S \le u_1$，且截断误差（余项） $|r_n| \le u_{n+1}$。

绝对收敛与条件收敛

对于任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$：

• 绝对收敛：$\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛（原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 必然收敛）
• 条件收敛：$\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散，但 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 本身收敛

交错 P-级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$ ：

$$\begin{cases} p > 1 & \text{绝对收敛} \\ 0 < p \le 1 & \text{条件收敛} \\ p \le 0 & \text{发散} \end{cases}$$

任意项级数的比值/根值判别

对任意项级数 $\sum u_n$，考察其绝对值 $\sum |u_n|$。
若 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \rho$ 或 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} = \rho$：

$$\begin{cases} \rho < 1 & \sum |u_n| \text{ 收敛，即原级数绝对收敛} \\ \rho > 1 \text{ 或 } +\infty & \sum |u_n| \text{ 发散，且可以推断 } \sum u_n \text{ 必定发散} \end{cases}$$

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函数级数与幂级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + \dots + u_n(x) + \dots$$

使级数收敛的 $x$ 的集合称为收敛域，其中的点称为收敛点

幂级数

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ 或 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

Abel 定理 (阿贝尔定理)：

• 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x = x_0$ ($x_0 \neq 0$) 处收敛，则对于满足 $|x| < |x_0|$ 的所有 $x$，级数绝对收敛。
• 若在 $x = x_0$ 处发散，则对于满足 $|x| > |x_0|$ 的所有 $x$，级数发散。
• 推论：幂级数的收敛域，如果不考虑端点，一定是一个以原点为中心的对称区间 $(-R, R)$。

3. 收敛半径 $R$ 的求法

设 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho$ 或 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$：

$$\begin{cases} \rho \neq 0 & \implies R = \frac{1}{\rho} \\ \rho = 0 & \implies R = +\infty \quad (\text{在整个实数轴上收敛})\\ \rho = +\infty & \implies R = 0 \quad (\text{仅在 } x=0 \text{ 处收敛}) \end{cases}$$

级数在 $(-R, R)$ 内绝对收敛。端点处需要单独考虑。

4. 幂级数的运算与性质

• 可以进行加减乘运算，新收敛半径 $R = \min(R_1, R_2)$。
• 解析性质：设和函数为 $S(x)$，在收敛区间 $(-R, R)$ 内：
  1. $S(x)$ 连续
  2. 可以逐项求导和逐项积分，且结果仍为幂级数
  3. 逐项求导或积分后，收敛半径 $R$ 保持不变（但端点的收敛性可能会改变）

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Taylor 级数 (泰勒级数)

Taylor 级数展开式

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处具有任意阶导数，则其 Taylor 级数为：

$$f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$

展开为 Taylor 级数的充分条件：若 $f(x)$ 在邻域 $U_R(x_0)$ 上有定义，且存在常数 $M > 0$，使得对于任意 $x \in (x_0-R, x_0+R)$ 及任意非负整数 $n$，恒有导数有界：

$$|f^{(n)}(x)| \le M$$

则 $f(x)$ 在该区间 $(x_0-R, x_0+R)$ 内可以展开为其 Taylor 级数（即余项趋于 0，级数之和确实等于 $f(x)$ 本身）

常见的展开式

• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (-\infty < x < +\infty)$
• $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (-\infty < x < +\infty)$
• $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (-\infty < x < +\infty)$
• $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (-1 < x < 1)$
• $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \quad (-1 < x < 1)$
• $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \quad (-1 < x \le 1)$
• $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \quad (-1 \le x \le 1)$
• $(1+x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n \quad (-1 < x < 1)$

傅立叶级数

对于周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$，其傅立叶级数展开式为

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

$$\begin{cases} a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx & (n=0, 1, 2, \dots) \\ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx & (n=1, 2, \dots) \end{cases}$$

Dirichlet 定理 (收敛条件)

设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上满足以下条件：

1. 以 $2\pi$ 为周期；
2. 只有有限个单调区间；
3. 连续，或只有有限个第一类间断点。

结论：则 $f(x)$ 可展开为傅立叶级数，且在 $(-\infty, +\infty)$ 上处处收敛。其收敛的和函数 $S(x)$ 满足：

$$S(x) = \begin{cases} f(x) & (x \text{ 为连续点}) \\ \frac{f(x-0) + f(x+0)}{2} & (x \text{ 为间断点}) \end{cases}$$

奇偶函数的傅立叶级数

当 $f(x)$ 具有奇偶性时，其傅立叶展开可以得到简化：

函数性质	系数	展开式
$f(x)$ 为奇函数	$a_n = 0$ $b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx$	$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx$ (正弦级数)
$f(x)$ 为偶函数	$b_n = 0$ $a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx$	$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx$ (余弦级数)

以 $2L$ 为周期的函数展开

若函数 $f(x)$ 的周期为 $2L$，则其傅立叶级数展开式为：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{L} x + b_n \sin \frac{n\pi}{L} x \right)$$

对应的傅立叶系数公式为：

$$\begin{cases} a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi}{L} x \, dx & (n=0, 1, 2, \dots) \\ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi}{L} x \, dx & (n=1, 2, \dots) \end{cases}$$

若 $f(x)$ 仅是定义在 $[-L, L]$ 上的非周期函数，可以令其进行周期延拓（$F(x+2L) = F(x)$）。展开后，在端点 $\pm L$ 处，级数收敛于：$\frac{f(-L+0) + f(L-0)}{2}$。

定义在半区间 $[0, l]$ 上的展开 (奇偶延拓)

若函数 $f(x)$ 仅在区间 $[0, l]$ 上有定义，可以通过奇延拓或偶延拓，将其展开为仅含正弦或仅含余弦的级数。

1. 奇延拓 (展开为正弦级数)

作周期为 $2l$ 的奇函数 $F(x)$ 进行延拓：

$$F(x) = \begin{cases} f(x) & (0 \le x \le l) \\ -f(-x) & (-l < x < 0) \end{cases}$$

级数展开为：

$$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n\pi}{l} x \quad (0 < x < l)$$

其中系数：

$$b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi}{l} x \, dx$$

2. 偶延拓 (展开为余弦级数)

作周期为 $2l$ 的偶函数 $F(x)$ 进行延拓：

$$F(x) = \begin{cases} f(x) & (0 \le x \le l) \\ f(-x) & (-l < x < 0) \end{cases}$$

级数展开为：

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n\pi}{l} x \quad (0 \le x \le l)$$

其中系数：

$$a_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi}{l} x \, dx$$